В рамках данного раздела представлены задачи, которые предлагались студентам кафедры ВТМГБ 2020 году.
2. Развитие INMOST – программной платформы для распределенного математического моделирования >>
3. Участие в разработке новой системы долгосрочного прогноза погоды >>
4. Cоздание глобальной модели атмосферы для системы прогноза погоды нового поколения >>
5. Численный анализ устойчивости физических, технических и биологических систем >>
6. Моделирование многофазной фильтрации в задачах нефтедобычи >>
7. Моделирование работы сердца и его отдельных элементов >>
8. Вихреразрешающее моделирование океана >>
9. Агентные модели в эпидемиологии >>
10. Разработка итерационных алгоритмов решения задачи вариационной ассимиляции данных наблюдений для модели динамики Белого, Баренцева и Карского морей >>
11. Математическое моделирование верхней атмосферы и ионосферы Земли >>
12. Моделирование климата и его изменений >>
13. Вычислительная линейная алгебра >>
14. Разработка методов и алгоритмов фильтрации данных в задачах анализа здоровья населения >>
Численное моделирование фильтрации и переноса загрязнений в подземных водахНаучный руководитель к.ф.-м.н. Капырин И.В., Работы направлены на создание вычислительных технологий оценки радиационной и экологической безопасности различных объектов с точки зрения потенциального загрязнения грунтовых вод. Актуальность тематики объясняется становлением новой системы обращения с радиоактивными отходами, предполагающей их обязательное окончательное безопасное захоронение. Также в настоящее время происходят коренные изменения в обращении с отходами производства и потребления, предполагающие реабилитацию загрязненных территорий и создание новых высокотехнологичных полигонов. Для решения этих задач разрабатываются математические модели соответствующих физических и химических процессов, а также численные методы, их реализующие. Основным результатом на сегодняшний день стало создание расчетного кода GeRa, аттестованного в 2018 году для использования при обосновании безопасности объектов использования атомной энергии и применяемого рядом организаций атомной отрасли для решения практических задач. Код GeRa предназначен для моделирования процессов фильтрации и переноса загрязнений в подземных водах, использует современные методы дискретизации на неструктурированных трехмерных сетках и параллельные вычислительные алгоритмы. Студентам в рамках данной тематики исследований предлагаются работы по созданию математических моделей и численных методов моделирования процессов подземной фильтрации и переноса загрязнений в подземных водах. Примеры: перенос со сложными химическими взаимодействиями, миграция примесей в коллоидной форме, тепловая и плотностная конвекция растворов, фильтрация и перенос в трещиновато-пористых средах. Работы сопряжены с решением практических задач для реальных объектов – пунктов захоронения радиоактивных отходов, загрязненных территорий, свалок ТБО. |
|
Развитие INMOST – программной платформы для распределенного математического моделированияНаучный руководитель к.ф.-м.н. Терехов К.М., к.ф.-м.н. Коньшин И.Г., Главной задачей программной платформы INMOST является обеспечение пользователя всеми необходимыми средствами для создания и исследования различных численных моделей. В данный момент INMOST является основой для ряда программных комплексов связанных с решением задач математической физики, от моделирования нефтедобычи и оценки загрязнения окружающей среды радионуклидами до движения крови в сосудах и моделирования тромбообразования. В программный комплекс входят как работа с распределенными по процессорам неструктурированными сеточными данными, но и удобный интерфейс для формирования и дальнейшего решения систем линейных уравнений, а также средства визуализации полученного решения. В качестве студенческих проектов предлагается дальнейшее развитие INMOST, а также создание программных комплексов для решения новых задач. Примеры задач: Все задачи имеют прикладное значение. Работы выполняются при поддержке Российского Научного Фонда (РНФ), Российского Фонда Фундаментальных Исследований (РФФИ). |
 
|
Участие в разработке новой системы долгосрочного прогноза погодыНаучный руководитель к.ф.-м.н. Фадеев Р.Ю., комната 603, rost.fadeev at gmail.com Студентам МФТИ предлагается принять участие в развитии отечественной модели атмосферы ПЛАВ, которая применяется в Гидрометцентре России для оперативного среднесрочного и долгосрочного прогноза погоды. Возможные темы НИР: Участие в разработке многокомпонентной модели атмосфера-океан-морской лед для перспективной системы долгосрочного прогноза погоды. НИР включает исследование качества воспроизведения моделью физики ключевых для долгосрочного прогноза погоды явлений и процессов (колебание Маддена-Джулиана, явления блокирования, отклик атмосферы на Эль-Ниньо и др.); усовершенствование модели атмосферы ПЛАВ. Эти работы крайне важны и поддерживаются Гидрометцентром России. Тема может быть интересна тем, кому любопытно, какие процессы происходят в атмосфере Земли, почему они возникают и к чему могут приводить. Моделирование снежного покрова в рамках системы прогноза погоды на основе ПЛАВ, исследование качества описания эволюции снежного покрова и приземной температуры в переходные сезоны (весна и осень). Улучшенное описание эволюции снежного покрова позволит точнее описать его границу, характеристики и, что важно для конечного потребителя, повысить качество прогноза температуры приземного слоя воздуха (в околонулевые периоды). Разработка новой системы визуализации прогнозов модели ПЛАВ, которые будут загружаться на сайт Гидрометцентра России. Целевая функция — создание не только стандартных картинок, но и интерактивной карты прогнозов. Основной язык программирования – python. |
 Рис. Логотип модели модели ПЛАВ.  Рис. Технологии, применяемые для оперативного прогноза погоды в Гидрометцентре России. |
Cоздание глобальной модели атмосферы для системы прогноза погоды нового поколенияНаучный руководитель к.ф.-м.н. Шашкин В.В., комната 603, vvshashkin at gmail.com На сегодняшний день большая часть научных групп, занимающихся моделированием атмосферы и прогнозом погоды, готовятся к переходу на использование глобальных моделей прогноза погоды с очень подробным пространственным разрешением (3-7 км). Такое разрешение позволит модели воспроизводить не только крупномасштабные атмосферные движения, но и ряд локальных эффектов (фронты, шквалы, горные волны), которые обуславливают значительную При переходе к глобальному прогнозу погоды с разрешением 3-7 км, как правило, требуется разработка новой модели атмосферы (модели нового поколения). Это связано с тем, что при подобном пространственном разрешении возникает ряд требований алгоритмам и методам, не свойственных моделям предыдущего поколения: – Высокое быстродействие и параллельная эффективность алгоритмов и численных методов. Возможные задачи студенческих дипломных работ: – Моделирование обтекания горного рельефа с использованием метода погруженных границ. В рамках данной задачи студенту предлагается реализовать и исследовать метод численного решения упрощенных уравнений динамики атмосферы с использованием метода погруженных границ для моделирования обтекания рельефа. В дальнейшем рассматривается возможность внедрения данного метода в полную модель атмосферы. – Разработка и исследование свойств горизонтальных аппроксимаций дифференциальных операторов на сетках с квазиравномерным разрешением на сфере. В рамках данной задачи студентам предлагается исследовать свойства (как численно, так и аналитически) схем пространственной дискретизации для сеток на сфере специального вида (кубическая сфера, редуцированная широтно-долготная сетка) в рамках упрощенных двумерных уравнений динамики атмосферы. Результат данного исследования позволит выделить наиболее перспективные схемы для использования в новой модели атмосферы. – Реализация эффективных параллельных алгоритмов численного решения системы уравнений динамики атмосферы. В частности, предлагается заняться разработкой и исследованием параллельных свойств методов решения систем линейных уравнений с большой разреженной матрицей (многосеточные методы, методы Крылова и другие), возникающих в результате дискретизации уравнений динамики атмосферы. В рамках выполнения данной задачи предполагается работа с одним из самых мощных суперкомпьютеров в России (вычислительная система ГВЦ Росгидромета). |
    |
Численный анализ устойчивости физических, технических и биологических системНаучный руководитель д.ф.-м.н. Нечепуренко Ю.М., комната 638, yumnech at yandex.ru Возможные направления работы: – Разработка и анализ матричных численных методов исследования устойчивости. – Исследование устойчивости до, транс, сверх и гиперзвуковых аэродинамических сдвиговых течений и анализ ламинарно-турбулентного перехода в них. – Исследование устойчивости стационарных и периодических решений моделей динамики вирусных инфекций и разработка новых алгоритмов терапии. По всем направлениям будет предложены и обсуждены со студентом конкретные задачи, из которых он/она сможет выбрать себе тему научной работы. При этом, возможен как уклон в сторону математики, так и более глубокое погружение в выбранное приложение. Для представления о направлениях исследований прилагаются по одной публикации коллектива по каждой из этих тем. Computing humps of the matrix exponential Excitation of unsteady Görtler vortices by localized surface nonuniformities Maximum response perturbation-based control of virus infection model with time-delays |
|
Моделирование многофазной фильтрации в задачах нефтедобычиКонтакты: Математическое моделирование процессов многофазной фильтрации является неотъемлемой частью планирования разработки нефтегазовых месторождений и используется для принятия таких решений, как размещение скважин, проектирование поверхностных сооружений и разработка оперативных стратегий для достижения максимального коэффициента извлечения нефти при минимальных затратах. Использование современных численных методов позволяет повысить как точность, так и скорость получения прогноза, и как следствие – его практическую ценность. В качестве студенческих проектов предлагается развитие разработанного в ИВМ РАН исследовательского гидродинамического симулятора, а также проведение численных экспериментов для конкретных сценариев. Примеры задач: 1. Изучение методов улучшения сходимости для задач трехфазной фильтрации (система вода-нефть-газ), 2. Подготовка и проведение экспериментов для трехфазной фильтрации для конкретных месторождений, 3. Исследование эффектов, возникающих при фазовых переходах, 4. Развитие методов для корректного учета гравитации в задачах фильтрации. Все задачи имеют прикладное значение. Работы выполняются при поддержке Российского Научного Фонда (РНФ) и корпорации ExxonMobil. |
  |
Моделирование работы сердца и его отдельных элементовКонтакты: Электрофизиология сердца Математическое моделирование уже активно применяется в персонализированной медицине, и одной из самых важных и востребованных задач сейчас является создание электрофизиологической модели сердца человека. С ее помощью можно моделировать и диагностировать различные сердечные болезни (аритмии, фибрилляции). Такие численные модели являются особенно актуальными в связи с тем, что заболевания сердечно-сосудистой системы являются основной причиной смертности в Российской Федерации и других странах. Также модель позволит оптимизировать проведение медицинских операций (радиочастотной абляции, имплантации кардиостимуляторов). Разработанные методы будут использованы в Первом московском государственном медицинском университете (Сеченовский университет). В качестве студенческих проектов предлагается развитие разрабатываемых в ИВМ электрофизиологической модели сердца человека и модели ЭКГ, и проведение исследований на их основе. Моделирование работы сердца и его отдельных элементов Заболевания сердечно-сосудистой системы являются основной причиной смертности в мире. В Первом московском государственном медицинском университете (Сеченовском университете) проводятся массовые операции по реконструкции аортального клапана и стентированию коронарных, брахиоцефальных и бедренных артерий. Использование персонализированных математических моделей сердца и кровеносных сосудов при планировании операций повышает их эффективность. ИВМ РАН совместно с Лабораторией математического моделирования в медицине Института персонализированной медицины НТПБ Сеченовского университета разрабатывает модели для вышеприведенных операций, https://dodo.inm.ras.ru/research/rsf-14-31-00024 В качестве студенческих проектов предлагается участие в разработке этих моделей, исследованиях на их основе и их внедрении в клиническую практику. |
      |
Вихреразрешающее моделирование океанаКонтакты: Мировой океан многообразен в пространстве и во времени. Подобно атмосфере, его текущая погода меняется на масштабах часов и суток. Проходят вихри, штиль сменяется штормом, проявляясь в резких и труднопредсказуемых скачках температуры и скорости течения на поверхности воды. Смена сезонов влечёт закономерное изменение теплосодержания верхних слоёв, активизируется и затухает глубокая конвекция, намерзает и таёт морской лёд, изменяются направления некоторых течений. На масштабах нескольких лет происходят крупномасштабные колебания, такие как смена фаз Эль-Ниньо или Великие солёностные аномалии, затрагивающие бассейны океанов. Общей закономерностью является то, что чем большие пространства захватывает процесс, тем медленнее он происходит. Наконец, на масштабах нескольких десятилетий и более, медленно меняющиеся средние характеристики океана (наряду со всем ансамблем проходимых им мгновенных состояний) относят к климату океана. Пространственные особенности климатической циркуляции имеют, как правило, небольшие градиенты и масштабы тысяч километров – это господствующие течения и круговороты, перепады среднего уровня морской поверхности, устойчивые тёплые и холодные районы, средние многолетние площади зимнего и летнего льда и т.д. В планетарном масштабе климатическая циркуляция образует Глобальный океанский конвейер, один цикл которого занимает порядка 1000 лет. Тем не менее, в силу нелинейности физических законов океанской термогидродинамики, такие крупномасштабные характеристики существенно зависят от более тонкой и быстрой динамики. Так, обширные области мягкого умеренного климата в Северной Атлантике и на северо-западе Европы обязаны своим существованием тёплым водам Гольфстрима. Ширина его струи до разделения на ветви Северо-Атлантического течения составляет менее 100 км, а скорость 1-2 м/с создаёт многочисленные меандры и ринги. Климатические зоны Мирового океана часто бывают разделены достаточно резкими фронтами. Локальная динамика океана и характеристики морского ледового покрова обуславливают турбулентные потоки тепла между океаном и атмосферой на больших акваториях, а небольшие зоны, в которых происходит глубокая конвекция, являются ключевыми элементами Глобального конвейера. И наоборот, статистика погоды и сезонных явлений (например, частота штормов или годовой перепад температур) во многом определяется средними климатическими условиями. Климат является фоновой средой, в которой разворачиваются более быстрые процессы. Поэтому относительно небольшие и медленные изменения глобальных средних климатических характеристик (естественные или антропогенные) могут сопровождаться радикальными изменениями повседневной среды жизни и хозяйственной деятельности человека на коротких временных масштабах. Студенты МФТИ приглашаются к участию в научно-исследовательских работах с применением массивно-параллельной вихреразрешающей модели общей циркуляции океана ИВМИО. Все направления исследований предполагают работу на высокопроизводительных вычислительных кластерах и суперкомпьютерах. 1. Изменчивость циркуляции Мирового океана. Модели общей циркуляции используются для изучения динамики океана, климата Земли в целом и их изменчивости на различных пространственных и временных масштабах. В процессе численного эксперимента изучаются также характеристики моделей, особенности их «собственного» климата, возможности применения океанских моделей в качестве компонентов совместных климатических моделей более высокого уровня. Ресурсоёмкость таких задач обусловлена большой длительностью эксперимента (сотни и тысячи лет), необходимой для разгона и адаптации глубинных течений модельного океана, при том что необходимо достаточно высокое пространственное и временное разрешения для описания быстрой динамики верхних слоёв. Другими словами, необходимо моделировать долгосрочные процессы, максимально точно воспроизводя при этом последовательность проходимых системой мгновенных, быстро меняющихся состояний. Основными направлениями работы будут построение и валидация высокоразрешающих модельных конфигураций на основе кода ИВМИО, ретроспективные исследования изменчивости климата (hindcasting), оперативный прогноз состояния океана, исследование чувствительности океанcкой циркуляции к естественным и антропогенным возмущениям. Потребуется освоить статистические методы, технологии обработки и анализа больших данных. 2. Разработка динамического ядра модели ИВМИО. Расчёты с высоким разрешением требуют более совершенных численных методов. Большое значение имеют консервативность и монотонность схемы, её диффузионные и дисперсионные свойства, что в конечном итоге определяет эффективное разрешение модели. В рамках данного направления предлагаются задачи по модернизации численных схем переноса тепла, пассивных и активных примесей в модели с целью улучшения её вычислительной эффективности и разрешающей способности. Потребуется освоить объектно-ориентированное программирование на языке Fortran 2003. Участники приобретут опыт работы с конечнообъёмными методами и средствами параллельного программирования для компьютеров с распределённой памятью. 3. Разработка совместной модели атмосферы, океана и морского льда ПЛАВ-ИВМИО-CICE. Качественное прогнозирование состояния глобальной природной среды на срок нескольких недель или месяцев, также как и долгосрочные оценки сценариев изменения климата, невозможно без совместных моделей, каждый компонент которых является полноценной, интерактивной моделью одной из сред. В настоящее время к этой же парадигме приходит и классический краткосрочный прогноз погоды. Разрабатываемая в рамках данного направления совместная модель включает компоненты атмосферы и почвы (ПЛАВ), океана (ИВМИО) и морского льда (консорциум CICE). Синхронизацию и обмен данными между моделями выполняет вычислительная платформа CMF. Предлагаются задачи по моделированию климатических связей и колебаний в Земной системе, разработке технологии глобального сезонного прогноза, модернизации алгоритмов объединения моделей (каплинг). Потребуется освоить объектно-ориентированное программирование на языке Fortran 2003. 4. Усвоение данных наблюдений. Коррекция расчетов модели данными наблюдений представляет собой одну из наиболее актуальных задач в современной математической геофизике в связи с постоянным увеличением массивов наблюдаемой геофизической информации, развитием систем спутниковых измерений и высокоскоростных каналов связи. Сложность задачи связана с массивностью и нерегулярностью поступающей информации, а также жёсткими требованиями к адаптации решения (отсутствие «спинапов»). В рамках данного направления предлагаются задачи по разработке параллельных ансамблевых систем усвоения океанских данных с контактных и спутниковых платформ, включая контроль качества и препроцессинг. Потребуется знание статистических и матричных методов, программирование на языке Fortran 2003. Внутригодовая изменчивость температуры поверхности океана (ºC) в 1982 году по данным модели ИВМИО с разрешением 0.1 градуса: http://model.ocean.ru/static/user_files/attachments/Ris8.mp4 |
 Рис. Аномалия температуры поверхности океана в модели ИВМИО с разрешением 0.1 градуса относительно среднегодовой климатологии WOA09  Рис. Архитектура совместной модели под управлением CMF3.0: четыре компоненты (океан, лед, атмосфера, вложенное море) отправляют запросы в очередь сообщений, откуда их извлекают сервисы каплера (CPL) и ввода-вывода (IOD). Сами данные передаются через механизм виртуальных глобальных массивов. Представлены сервисные блоки нестинга (NST) и ассимиляции данных (DAS).  Рис. Температура поверхности океана (°C) в модели Северной Атлантики в базовом эксперименте (А01) и эксперименте с усвоением методом ансамблевой оптимальной интерполяции EnOI (А03). Кругами показаны расположение дрифтеров АРГО, профили температуры и солености с которых поступили на 2008-06-29. Размер кругов пропорционален разнице между температурой с дрифтеров и модельной температурой до усвоения. |
Агентные модели в эпидемиологииКонтакты: В работах нашей группы было показано, что несмотря на довольно низкий, сравнимый с |
 Рис. a) Средний уровень заболеваемости туберкулезом по муниципалитетам г. Москвы (число новых случаев в год на 100 000 населения), кластеры обозначены черными кругами; b) гистограмма распределения локальных оценок заболеваемости туберкулезом в 2000–2015 гг; c) “Хвост” распределения; d) карта двух очагов (черные круги), получившихся в результате кластеризации исходных очагов (серые круги). |
Разработка итерационных алгоритмов решения задачи вариационной ассимиляции данных наблюдений для модели динамики Белого, Баренцева и Карского морейКонтакты: Задача вариационной ассимиляции данных наблюдений в численной модели окраинных морей России включает: 1. Разработку и обоснование алгоритма решения задачи; 2. Работа с численной моделью гидротермодинамики морских акваторий; 3. Работа с данными наблюдений о состоянии морских акваторий; 4. Исследование итерационных алгоритмов для задачи вариационной ассимиляции данных со специальным выбором итерационных параметров и их сравнение. |
 Рис. Карта климатических приповерхностных течений Баренцева и Карского морей (Grøsvik, Bjørn Einar et al., 2018)  |
Математическое моделирование верхней атмосферы и ионосферы ЗемлиКонтакты: Тема исследований Основные проблемы моделирования верхней атмосферы связаны как с построением и реализацией эффективных и устойчивых численных алгоритмов для решения основных уравнений моделей различного типа, так и с исследованием с помощью разрабатываемых моделей и анализа данных наблюдений ключевых физических процессов, ответственных за формирование глобального состояния и изменчивости среды, в том числе с анализом связей верхних и нижних слоев. Отдельной проблемой является использование данных наблюдений о верхней атмосфере и ионосфере для усовершенствования и анализа результатов модели, а также решения задачи прогноза, что включает построение специальных параметризаций, систем усвоения данных, а также использование нейронных сетей. Предлагаемые задачи 1. Разработка гидродинамического вычислительного ядра для полной глобальной модели общей циркуляции атмосферы (для высот 0-500 км). Задача предполагает создание и реализацию эффективного и устойчивого алгоритма решения уравнений гидротермодинамики атмосферы для слоя с высокой верхней границей в качестве основы перспективной модели Земной системы на основе существующих разработок и моделей атмосферы ИВМ РАН. 2. Разработка параметризаций физических процессов для моделей верхней атмосферы: волновых процессов и их воздействия на общую циркуляцию, электромагнитных процессов и их роли в динамики ионосферы, и др. Предполагается использование как детерминированных физических приближений, так и динамико-стохастических подходов. 3. Разработка системы усвоения данных для модели ионосферы и верхней атмосферы на основе четырехмерной вариационной ассимиляции, а также ансамблевых фильтров Кальмана. 4. Разработка и реализация нейронной сети для усвоения данных наблюдений и решения задачи прогноза состояния Земной ионосферы. 5. Построение оператора отклика ионосферы на малые внешние воздействия на основе данных наблюдений и моделирования с использованием динамико-стохастических подходов. |
 Рис. 1. Широтно-долготное распределение поля полного электронного содержания (TEC), для полночи для условий равноденствия по данным моделирования ионосферы с помощью модели термосферы-ионосферы ИВМ РАН, демонстрирующие воспроизведение экваториальной аномалии.  Рис. 2. Широтно-высотные распределения поля электронной концентрации 10 5 (см -3 ) зональноосредненных значений отклонений для полуночи (в середине) и полудня (внизу) по UT для условий равноденствия по данным моделирования ионосферы с помощью разработанной модели, демонстрирующие воспроизведение экваториальной аномалии. |
Моделирование климата и его измененийКонтакты: В зависимости от тематики НИР соруководителями могут быть д.ф.-м.н. Грицун А.С., д.ф.-м.н. Глазунов А.В., д.ф.-м.н. Яковлев Н.Г. Понимание механизмов формирования современного климата, а также причин его изменений в прошлом и будущем является одной из ключевых задач современной науки. Одним из основных методов исследования климата является математическое моделирование с все более полным учетом всех основных факторов, влияющих на климатическую систему. В настоящее время в мировом научном сообществе существует несколько десятков климатических моделей, участвующих в международных программах сравнения моделей, результатом которых являются регулярные доклады экспертной группы IPCC о современном состоянии климата Земли и прогнозе его изменений в будущем. Одним из основных направлений деятельность группы является разработка собственной (и единственной Российской) модели Земной системы, состоящей из модели общей циркуляции атмосферы, океана, морского льда, биохимии океана и т.д., и проведение с ней численных экспериментов в рамках различных международных проектов (CMIP, CORE и т.д.). Результаты экспериментов с моделями Земной системы широко востребованы мировым сообществом. Работа в рамках данного направления поддерживается грантами РНФ и РФФИ, Международной программой “Математика планеты Земля”, сотрудничеством с Имперским Колледжем Лондона. Некоторые задачи, предлагаемые заинтересованным студентам – магистрам – аспирантам: 1. Стохастические параметризации динамических и физических процессов в моделях атмосферы и океана. Как правило, пространственная дискретизация уравнений, описывающих динамику атмосферы и океана в климатических моделях достаточно грубая (модели приходится интегрировать на «климатические» интервалы времени, составляющие сотни лет). Эффект от влияния не описанных явно (т.н. «подсеточных») пространственных масштабов на 2. Развитие динамического блока моделей атмосферы и/или океана. Современные требования к климатическим моделям подразумевают использование эффективных численных методов при решении уравнений динамики атмосферы/океана, поэтому динамические блоки моделей постоянно совершенствуются. В частности, предлагается принять участие в работе по модернизации схем переноса пассивных/активных примесей в модели динамики океана, используемой в группе. 3. Моделирование биохимии Мирового океана. Весьма популярной научной тематикой в настоящее время является задача моделирования состояния биохимической системы Мирового океана в контексте происходящих изменений климата. Для решения этой задачи группой разработан интерактивный блок (в составе модели Земной системы) расчета биохимических характеристик океана. Совершенствованием данного блока, проведением с его помощью прогностических расчетов и предлагается заняться. |
|
Вычислительная линейная алгебраКонтакты: 1. Разреженные решения в задачах вычислительной линейной алгебры и математической физики. Часто решение задачи ищется в виде разложения по заданному базису, и заметим, что заведомо существуют базисы, для которых вектор коэффициентов разложения оказывается разреженным. За последние 10-15 лет очень интенсивно развивалось новое научное направление, связанное с поиском разреженных или приближенно разреженных решений, в том числе в задачах линейной алгебры. Здесь сложность заключается прежде всего в том, что неизвестно, какие именно коэффициенты будут ненулевыми. Как выбрать базис, гарантирующий разреженность? Конечно, идеальная ситуация – когда базис содержит искомое решение. Но решение – это как раз то, что мы ищем! Цель исследования – понять, как можно находить разрежающие базисы в задачах математической физики, прежде всего для интегральных уравнений теории потенциала. Есть надежда, что в результате получатся совершенно новые эффективные методы решения многих практически важных задач. 2. Редукция моделей и обучающих выборок в задачах машинного обучения. Мы постоянно имеем дело с отображениями, действие которых известно только на некоторой части точек их области определения. При этом есть желание понять, как они действуют в других точках. Обычно выбирается некоторая модель отображения с набором параметров, которые определяются с помощью методов машинного обучения. Одна из главных реальных проблем заключается в том, что для обучения необходимо использовать слишком много точек. Есть две идеи о том, как сократить число точек обучения. Во-первых, можно из всего множества точек обучения выбирать наиболее значимые. Во-вторых, можно попытаться редуцировать саму модель, сократив число ее параметров и, как следствие, число обучающих точек. Цель исследования – посмотреть, как эти идеи работают в задачах прогнозирования значений временных рядов по начальному отрезку времени, изучить современные статистические модели и возможности применения тензорных разложений для их эффективной реализации. 3. Как решать операторные уравнения в случае операторов с коэрцитивно расщепляемой главной частью. Теория сходимости проекционных методов (методов Галеркина) для решения линейного операторного уравнения обычно предполагает выполнение двух условий: (а) аппроксимации для проекторов и (б) коэрцитивности для исходного оператора. Замечательно, что компактное возмущение оператора сохраняет сходимость. Однако есть задачи (например, знаменитое уравнение электрического поля в электродинамике), в которых оператор не является коэрцитивным, но с точностью до компактного возмущения допускает расщепление в прямую сумму коэрцитивных. Выбор составного базиса, объединяющего базисы соответствующих подпространств, дает теоретическое решение вопроса о гарантированно сходящемся методе. Но на практике такой выбор может вести к большим вычислительным трудностям (например, в случае уравнения электрического поля). Цель исследования – в случае несоставного базиса понять, какие его свойства обеспечивают сходимость проекционного метода, и, возможно, разобраться с до сих пор открытым вопросом от том, есть ли такие свойства у базиса Рао-Вилтона-Глиссона, который несколько десятилетий успешно применяется при численном решении уравнения электрического поля. 4. Применение тензорных разложений при решении кинетических уравнений. Традиционно при решении уравнений Больцмана и уравнений Смолуховского используются стохастические методы, так как классические сеточные методы представляются катастрофически затратными. Совсем недавно для уравнений Больцмана и схожих популяционных уравнений удалось получить эффективные квазисеточные методы, в основе которых лежат традиционные сеточные методы и специальные тензорные представления решения и ядра. Цель исследования – посмотреть, как эти конструкции могут использоваться при решении уравнений Больцмана. 5. Принцип максимального объема в задачах оптимизации. Принцип максимального объема в задачах малоранговой аппроксимации матриц дает замечательный рецепт для выбора малого числа строк и столбцов – креста, по которому матрица восстанавливается с гарантированной точностью: достаточно выбирать крест, в котором цетральная подматрица будет иметь максимальный объем среди всех подматриц такого же размера. Принцип появился в ИВМ РАН и недавно получил новое развитие в связи с различными обобщениями понятия объема матрицы. К простейшему методу оптимизации функционала от многих переменных относится, конечно, метод последовательной координатной оптимизации. При этом координаты можно объединять в блоки и последовательно оптимизировать по блокам. Цель исследования – построить метод выбора блока, основанный на принципе максимального объема, и, возможно, получить новые эффективные методы оптимизации. |
|
Разработка методов и алгоритмов фильтрации данных в задачах анализа здоровья населенияКонтакты: Благодаря развитию медицинских информационных систем и автоматизации сбора данных в настоящее время накоплены большие объёмы данных, характеризующих здоровье населения России и риски развития хронических неинфекционных заболеваний. Повышение качества таких данных является необходимым условием формирования объективной картины здоровья населения и оценки эффективности принимаемых мер контроля. Здравоохранение является ведущей статьёй бюджетных расходов в большинстве стран мира и потому – привлекательной сферой для мошенничества. Анализ массовых данных инструментальных измерений в российских центрах здоровья в 2010-2015 году выявил высокий уровень неоднородности качества данных и высокий процент сфальсифицированных данных (с выполнением принципа Парето) [1,2,3], рис. 1. Студентам в рамках научно-исследовательской работы предлагается разработать эффективные методы и алгоритмы фильтрации данных профилактического скрининга населения России (по данным центров здоровья за 2010-2020 гг.), сравнить эффективность индивидуальных и групповых методов фильтрации, методов машинного обучения. Полученные результаты будут использованы при разработке автоматизированной системы динамического мониторинга качества данных и борьбы с мошенничеством в сфере здравоохранения. |
 Рис. 1. Динамика процентной доли “выбросов” (outliers) и фальсификатов данных (fraud cases) в базе данных импедансометрии центров здоровья по годам обследования и федеральным округам России [3]. Общий размер выборки 2,29 млн человек. |
