Назад на страницу кафедры
Курсы:
- Матрицы и вычисления
- Математические методы численного анализа
- СОВРЕМЕННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
- Функциональный анализ и вычислительная математика
- СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
- ВАРИАЦИОННЫЕ И ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Матрицы и вычисления
~ Наверх
1. Линейная зависимость величин. Системы линейных уравнений. Матрицы как инструмент для анализа линейной зависимости.
Операции над матрицами. Ассоциативность и некоммутативность умножения матриц.
2. Вычислительный аспект умножения матриц: классическое правило умножения, алгоритм Винограда, алгоритм Штрассена.Блочные матрицы. Качество алгоритмов и модели компьютеров. Последовательные и параллельные вычисления.
3. Матрицы как обобщение понятия числа. Группа, кольцо, поле. Специальные классы матриц. Матрицы перестановки.Схема сдваивания для ассоциативной операции. Рекуррентное сдваивание.
4. Матрица как оператор. Ядро и образ матрицы. Диагонализация матрицы. Собственное значение и собственный вектор.Инвариантные подпространстсва. Теорема Жордана.
5. Характеристический полином матрицы и методы его вычисления. Параллельные алгоритмы вычисления обратной матрицы.
6. Циркулянтные и теплицевы матрицы. Групповое свойство невырожденных циркулянтных матриц. Спектральная теорема для циркулянтных матриц. Матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Быстрые алгоритмы периодической и апериодической свертки.
7. Метрическое пространство. Вложенные шары. Нормированное пространство. Векторные и матричные нормы. Эквивалентные нормы. Операторные нормы.
8. Скалярное произведение. Ортогональность. Длина вектора. Изометричные матрицы. Сохранение длин и унитарные матрицы. Теорема Шура.
9. Нормальные матрицы. Знакоопределенные матрицы. Сингулярное разложение матрицы. Унитарно инвариантные нормы. Аппроксимации меньшего ранга.
10. Малые возмущения. Число обусловленности матрицы. Сходящиеся матрицы и ряды. Простейший итерационный метод. Обратные матрицы и ряды. Обусловленность линейной системы. Согласованность матрицы и правой части.
11. Возмущение собственных значений. Непрерывность корней полинома. Круги Гешгорина. Малые возмущения собственных значений и векторов. Обусловленность простого собственного значения.
12.Спектральные расстояния. Теорема Виландта-Хоффмана. Двоякостохастические матрицы и теорема Биркгоффа. Перестановочные диагонали и теорема Холла.
13. Машинные числа. Аксиомы машинной арифметики. Ошибки округления для скалярного произведения. Прямой и обратный анализ. Проблемы сертификации алгоритмов. “Идеальные” и “машинные” тесты. Решение треугольных систем.
14. Прямые методы для линейных систем. Теория LU-разложения. Ошибки округления для $LU$-разложения. Рост элементов и выбор ведущего элемента. Метод Холецкого. Треугольные разложения и решение систем. Как уточнить решение.
15. QR-разложение матрицы. Матрицы отражения. Исключение элементов с помощью отражений. Матрицы вращения. Исключение элементов с помощью вращений. Машинные реализации отражений и вращений. Метод ортогонализации. Потеря ортогональности. Как бороться с потерей ортогональности. Модифицированный алгоритм Грама-Шмидта.
16. Неотрицательные матрицы. Матрицы и графы. Разложимость. Теорема Перрона-Фробениуса. Методы для разреженных матриц. Задача о сепараторе.
17. Подход В.В.Воеводина к решению проблемы портабельности программного обеспечения. Программа и математический алгоритм. Граф алгоритма. Граф вычислительной системы. Проблемы построения и анализа графов. Проблемы отображения алгоритмов на вычислительные системы.
Рекомендуемая литература
1. В.В.Воеводин, Вычислительные основы линейной алгебры. Наука, 1977.
2. В.В.Воеводин, Е.Е.Тыртышников, Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. Наука, 1987.
3. Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер, Машинные методы математических вычислений. Мир, 1980.
4. Е.Е.Тыртышников, Краткий курс численного анализа. ВИНИТИ, 1994.
Математические методы численного анализа
Наверх
1. Проблема собственных значений. Степенной метод. Итерации подпространств. QR-алгоритм. QR-алгоритм со сдвигами. Глобальная сходимость. Квадратичная икубическая сходимость. Организация вычислений. Как найти сингулярное разложение.
2. Приближение функций. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционный полином Лагранжа. Погрешность лагранжевой интерполяции. Разделенные разности. Формула Ньютона. Разделенные разности с кратными узлами. Обобщенные интерполяционные условия. Таблица разделенных разностей.
3. Сходимость интерполяционного процесса. Алгебраические и тригонометрические полиномы. Проекторы, связанные с рядами Фурье. Интерполяционные проекторы для чебышевских сеток.
4. Сплайны. Вариационное свойство естественных сплайнов. Как строить естественные сплайны. Аппроксимационные свойства естественных сплайнов. B-сплайны. Квазилокальность и ленточные матрицы.
5. Минимизация нормы. Равномерные приближения. Полиномы Чебышева. Ряд Тейлора и его дискретный аналог.
6. Метод наименьших квадратов. Ортогональные полиномы. Трехчленные рекуррентные соотношения. Корни ортогональных полиномов. Трехчленные соотношения и трехдиагональные матрицы. Соотношения разделения между корнями. Ортогональные полиномы и разложение Холецкого.
7. Численное интегрирование. Интерполяционные квадратурные формулы. Алгебраическая точность. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Формулы Гаусса. Составные квадратурные формулы. Правило Рунге для оценки погрешностей. Как интегрировать плохие функции.
8. Нелинейные уравнения. Метод простой итерации. Сходимость и расходимость метода простой итерации. Оптимизация метода простой итерации. Метод Ньютона и эрмитова интерполяция. Многомерный вариант метода Ньютона. Прямая и обратная интерполяция. Сравнение метода секущих и метода касательных.
9. Методы минимизации. Метод Ньютона. Релаксация. Дробление шага. Существование и единственность точки минимума. Градиентный метод с дроблением шага. Метод скорейшего спуска. Быстрое вычисление градиента. Понятие об овражном методе, методе сопряженных направлений, квазиньютоновских методах, релаксационном методе глобализации сходимости.
10. Квадратичные функционалы и линейные системы. Минимизация на подпространствах и проекционные методы. Подпространства Крылова. Оптимальность подпространств Крылова. Метод минимальных невязок.
11. A-норма и A-ортогональность. Метод сопряженных градиентов. Метод Арнольди и метод Ланцоша. Псевдоскалярное произведение и метод биортогонализации. Квазиминимизация.
12. Сходимость метода сопряженных градиентов. Классическая оценка сходимости и ее уточнения. Сверхлинейная сходимость и исчезающие собственные значения. Числа Ритца и векторы Ритца. Теорема Вандерслюиса-Вандерворста. Предобусловливание в неэрмитовом и эрмитовом случае. Спектральная эквивалентность и кластеры.
13. Интегральные уравнения. Функциональных пространства и свойства интегральных операторов. Эллиптичность. Уравнение с логарифмическим ядром. Теорема Шо-Ведланда.
14. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Метод Галеркина. Роль строгой эллиптичности. Компактные возмущения.
15. Интегральные уравнения и структурированные матрицы. Циркулянтные предобусловливатели. Методы быстрого приближенного умножения.
Рекомендуемая литература
1. Е.Е.Тыртышников, Краткий курс численного анализа. ВИНИТИ, 1994.
2. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков, Численные методы. Наука, 1987.
3. G.H.Golub, Ch. Van Loan, Matrix Computations, The Hopkins University Press, 1989.
Современные вычислительные технологии
~ Наверх
Целью курса является ознакомление с основными этапами технологии инженерных вычислений.
Содержание курса
- Принципы создания и использования библиотек
- Интегрированные системы
- Геометрическое представление расчетной области
- Генерация сеток
- Создание систем сеточных уравнений
- Решение линейных систем
- Решение нелинейных систем
- Решение задач на собственные значения
- Визуализация и анализ расчета
- Представление результата
Литература
- Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.:Мир, 2001.
- Львовский С.М. Набор и верстка в пакете Latex. Космосинформ, 1995
Интернет ресурсы
Интегрированные системы
- http://www.alberta-fem.de/
- http://www.scicomp.ucsd.edu/~reb/software.html
- http://scicomp.ucsd.edu/~mholst/codes/mc/index.html
Генераторы сеток
Библиотеки приложений
- http://www-users.cs.umn.edu/~saad/software/SPARSKIT/sparskit.html
- http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/
- http://users.wpi.edu/~walker/NITSOL/
- http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/
- http://www-rocq1.inria.fr/gamma/cdrom/www/nsc2ke/eng.htm
Визуализация
Электронные презентации
Техническое задание проекта 1
Цель: исследование динамики аэродинамического обтекания ускоряющегося препятствия (крыла самолета NACA0012), выявление наиболее характерных черт поля скоростей через решение частичной задачи на собственные значения корреляционной матрицы, анизотропная адаптация к осредненному полю скоростей и пересчет решения на адаптивной сетке.
Этапы проекта:
- Генерация локально сгущающейся сетки
- Решение стационарных двумерных задач дозвукового и трансзвукового обтекания
- Решение нестационарной задачи обтекания с ростом скорости набегающего потока
- Визуализация результата
- Генерация корреляционной матрицы и решение частичной задачи на собственные значения
- Анизотропная адаптация сетки к осредненному полю скоростей
- Пересчет нестационарной задачи обтекания с ростом скорости набегающего потока
- Визуализация, в том числе анимационная
Интернет ресурсы:
- http://www-rocq1.inria.fr/gamma/cdrom/www/nsc2ke/eng.htm
- http://sourceforge.net/projects/ani2d/
- http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK
Техническое задание проекта 2
Цель: адаптивное решение уравнения конвекции-диффузии с резкими перепадами решения, сравнение регулярных и анизотропных триангуляций для качества получаемого решения, а также эффективности многосеточного метода, точного и неточного разложения матрицы системы на верхний и нижний треугольные множители.
Этапы проекта:
- Решение двумерного уравнения конвекции-диффузии на последовательности адаптивно измельчающихся регулярных сеток
- Визуализация и анализ результата
- Решение линейной системы на самой мелкой сетке с помощью многосеточного метода, а также прямого метода (точное $LU$-разложение) и итерационного метода (GMRES и неполное $ILU$-разложение как переобуславливатель)
- Анизотропная адаптация сетки к решению
- Генерация новой конечно-элементной системы
- Решение этой системы с помощью прямого метода (точное $LU$-разложение) и итерационного метода (GMRES и неполное $ILU$-разложение как переобуславливатель)
- Визуализация и анализ результата
- Сравнение самого решения и эффективности процедур его получения
Интернет ресурсы:
- http://www.scicomp.ucsd.edu/~reb/software.html
- http://www-users.cs.umn.edu/~saad/software/SPARSKIT/sparskit.html
- http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack
- http://sourceforge.net/projects/ani2d/
Техническое задание проекта 3
Цель: решение двумерных и трехмерных задач нестационарного обтекания неподвижных препятствий (цилиндра с квадратным сечением, куба, параллелепипеда) и подвижных препятствий (вращающегося ротора) несжимаемой жидкостью, обоснованный анализ решения через двумерную и трехмерную динамическую визуализацию
Этапы проекта:
- Генерация плоских четырехугольных сеток и решение двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для препятствия в форме круга и квадрата
- Двумерная визуализация расчета и сетки, динамическая и статическая
- Генерация пространственных шестигранных сеток и решение трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для препятствия в виде цилиндра с квадратным сечением, куба, параллелепипеда
- Трехмерная визуализация расчета и сетки, динамическая и статическая
- Решение трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса с движущимися границами и его одновременная визуализация
Интернет ресурсы:
Функциональный анализ и вычислительная математика
~ Наверх
I. Функциональные пространства и задачи теории приближений
1. Метрические пространства
Аксиомы метрического пространства. Открытый, замкнутый шар и сфера в метрическом пространстве. Примеры пространств. Сходимость, свойства пределов, замкнутые и открытые множества. Фундаментальные последовательности и их свойства. Полнота и сепарабельность C[a,b], полнота l2. Теорема о вложенных шарах. Пополнение пространств. Непрерывные операторы и функционалы, абстрактные функции.
2. Компактные множества в метрических пространствах
Компактные, бикомпактные, локально компактные множества. Ограниченность и компактность. E-сеть. Теорема Хаусдорфа. E-энтропия. Бикомпактные множества и задачи вариационного исчисления.
3. Постановка основных экстремальных задач теории приближений.
Основные характеристики наилучших приближений. Задача I о наилучшем приближении индивидуального элемента x из X фиксированным аппроксимирующим множеством A. Задача II о наилучшем приближении заданного множества C из X фиксирующим аппроксимирующим множеством. Задача III о наилучшем приближении заданного множества C классом аппроксимирующих множеств A. N-поперечник по Колмогорову и epsilon-энтропия множества C, чебышевский центр. Задача IV о приближении заданного множества при помощи фиксированного метода приближения. Задача о наилучшем методе приближения.
4. Принцип сжатых отображений
Неподвижные точки оператора. Операторы сжатия. Принцип сжатых отображений и метод последовательных приближений. Приближения для решения нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, интегральных и обыкновенных дифференциальных уравнений.
5. Линейные пространства
Аксиомы и свойства. Примеры. Подпространство. Размерность и линейная зависимость. Линейная оболочка, базис. Линейное отображение, ядро отображения, лемма о взаимнооднозначном отображении. Пространство линейных отображений. Изоморфизм линейных пространств. Выпуклые множества.
6. Нормированные, банаховы пространства
Нормированные, полунормированные, строго нормированные пространства. Аксиомы. Свойства норм, сходимость. Примеры. Эквивалентные нормы. Банаховы пространства. Подпространство. Ряды. Полнота системы элементов. Базис.
7. Пространства со скалярным произведением. Гильбертовы пространства
Пространства со скалярным произведением: евклидово и унитарное, свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Гильбертово пространство и его свойства. Сильная и слабая сходимость. Равенство параллелограмма. Строгонормированность. Примеры. Ортогональность и линейная независимость. Процесс ортогонализации Сонина-Шмидта. Ортогональные и ортонормированные системы. Эрмитовы и симметричные билинейные формы. Формальная конструкция построения новых (энергетических) пространств. Пространство Соболева.
8. Задачи о наилучшем приближении. Ортогональные разложения и ряды Фурье в гильбертовом пространстве
Задача о нахождении наилучшего приближения элементами выпуклого множества. Разложение в сумму ортогональных подпространств. Ряды Фурье, минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля-Стеклова. Полные ортогональные системы, ортогональные разложения и сепарабельность. Изоморфизм и изометрия гильбертовых пространств.
9. Некоторые экстремальные задачи в нормированном и гильбертовом пространствах
Задача I в нормированном пространстве, существование и единственность. Системы уравнений с матрицей Грама в задаче I в гильбертовом пространстве. Свойства определителей Грама, положительность, обобщенное неравенство Коши-Буняковского. Оценка отклонения. Задача I для пространства C[a,b], если множество A -многочлены. Наименьшее отклонение. Теорема о существовании и единственности наилучшего приближения многочленами и теорема об альтернансе.
10. Многочлены Чебышева 1-го рода и их свойства.
Многочлены, наименее отклоняющиеся от нуля Многочлены Чебышева 1-го рода и их свойства. Решение задачи типа I: о приближении многочленом степени $n-1$; о построении многочленов, наименее отклоняющихся от нуля, с фиксированным коэффициентом при старшей степени или фиксированным значением в некоторой точке. Задача IV и решение задачи V о наилучшем методе приближения интерполяционным многочленом Лагранжа.
II. Линейные операторы и функционалы
1. Линейные операторы в нормированных пространствах
Определение линейного оператора, его области определения и значений. Расширение оператора. Примеры. Непрерывность, ограниченность, норма линейного оператора. Связь между непрерывностью и ограниченностью. Оценки норм суммы и произведения операторов. О продолжении по непрерывности линейного оператора.
2. Пространства линейных операторов
Банахово пространство операторов. Сильная сходимость операторов и сходимость по норме: связь между ними. Ряды. Коммутативность. Операторные ряды, функции от операторов. Ряд Неймана. Операторы проектирования.
3. Обратные операторы. Линейные операторные уравнения. Мера обусловленности оператора
Основные понятия, теорема о существовании обратного оператора. Линейное операторное уравнение и нахождение решения его через обратный оператор. Мера обусловленности оператора и применение ее для оценки приближенного решения.
4. Спектр и спектральный радиус оператора. Условия сходимости ряда Неймана.
Теорема о возмущениях. Резольвента оператора, резольвентное множество, спектр оператора (дискретный, непрерывный, остаточный). Собственные элементы и собственные значения. Примеры. Спектральный радиус и норма оператора. Нильпотентные операторы. Определение самосопряженного оператора и его спектрального радиуса. Условия сходимости и расходимости ряда Неймана. Теорема о существовании обратного оператора к (I-A). Теорема о возмущениях (существование обратных операторов).
5. Принцип равномерной ограниченности
Принципы равномерной ограниченности, фиксации и сгущения особенностей. Теорема Банаха-Штейнгауза. Применение теоремы для оценки метода интерполирования по Лагранжу, к представлению функций интегралами и рядами Фурье.
6. Линейные функционалы и сопряженное пространство
Линейные функционалы в нормированном пространстве, ограниченность, норма. Примеры. Сопряженное пространство, понятие о рефлексивном пространстве, слабая сходимость функционалов и элементов. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов и применение ее к вопросу о сходимости квадратурных формул. Задача о построении квадратурных формул, функционал погрешности. Теоремы Пойя и Стеклова, сходимость квадратурных формул Гаусса.
7. Теорема Рисса. Теорема Хана-Банаха. Задача об оптимизации квадратурных формул
Теоремы Рисса об общем виде линейных функционалов и Хана-Банаха о продолжении линейного функционала для гильбертовых пространств. Применение теоремы Рисса к задаче об оптимизации квадратурных формул.
8. Сопряженные, самосопряженные, симметричные операторы
Сопряженный оператор, линейность, ограниченность, норма. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Примеры. Самосопряженный оператор, свойства суммы и произведения, степень и многочлен от самосопряженного оператора. Симметричный оператор. Примеры. Неотрицательные и положительно определенные операторы, обобщенное неравенство Коши-Буняковского. Свойства оператора проектирования. Норма самосопряженного оператора, нижняя и верхняя границы его.
9. Собственные значения и собственные элементы самосопряженных и симметричных операторов
Вещественность квадратичной формы. Свойства собственных значений и элементов самосопряженных и симметричных операторов (действительность собственных значений и ортогональность собственных элементов). Собственные пары степени оператора, многочленов от оператора, положительно определенного оператора. Границы собственных значений самосопряженного оператора. Отношение Релея. Определение функции от самосопряженного оператора.
10. Квадратичные функционалы с положительно определенным, симметричным или симметризуемым оператором и обобщенные решения операторных уравнений
Квадратичные функционалы с положительно определенным, симметричным оператором. Энергетическое пространство, приведение функционала к каноническому виду, функционалы ошибок, энергии наименьших квадратов, обобщенных наименьших квадратов. Теорема о минимизации функционала энергии и решении уравнения с самосопряженным оператором. Понятие об обобщенном решении. Свойства минимизирующих последовательностей, симметризуемые операторы.
11. Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов
Обобщенный метод Ритца, уравнения метода, свойства приближенного решения, сходимость. Конкретные реализации метода: методы Ритца, наименьших квадратов. Понятие о проекционных методах и методе Галеркина. Замечания о выборе координатных элементов.12. Вариационные уравнения. Теорема Вишика-Лакса-Мильграма
Билинейные формы, непрерывность, V-эллиптичность. Вариационные уравнения. Теорема Вишика-Лакса-Мильграма о существовании, единственности и непрерывной зависимости решений вариационных уравнений. Симметричный случай, связь с задачей о минимуме квадратичного функционала.
13. Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве
Некоторые свойства компактных множеств в гильбертовом пространстве. Конечномерный оператор. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Теорема о представлении вполне непрерывного оператора. Уравнение 2-го рода с вполне непрерывным оператором, формулировка теорем Фредгольма. Собственные значения и собственные элементы вполне непрерывного оператора.
14. Пространства Соболева. Теоремы вложения
Общее определение пространства Соболева. Гильбертовы пространства Соболева. Обобщенные производные. Теоремы о следах. Неравенство Пуанкаре-Стеклова. Оператор вложения. Формулировка теорем вложения. Простейшая теорема вложения.
15. Обобщенное решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка
Классическая задача Дирихле. Интегральное тождество. Обобщенная задача. Существование и единственность ее решения. Приближенные методы: методы Галеркина и Ритца и их реализация в методе конечных элементов. III. Итерационные методы решения линейных операторных уравнений
1. Общая теория итерационных методов
Метод последовательных приближений для линейных уравнений 2-го рода, необходимое и достаточное условия сходимости, оценка для ошибки, достаточные условия сходимости. Итерационные методы решения линейных уравнений 1-го рода. Определение многошаговых, одношаговых, стационарных, циклических, линейных итерационных методов. Общий вид одношаговых, линейных итерационных методов. Скорость сходимости.
2. О существовании сходящихся итерационных методов и их оптимизации
Методы преобразования уравнения к виду, пригодному для итераций симметризуемый случай. О существовании итерационных методов для нахождения решений линейных уравнений 1-го рода. Методы ускорения сходимости. Проблема оптимизации. Функционал потерь. Стационарный случай.
3. Чебышевские одношаговые (двучленные) итерационные методы
Формулировка циклического метода, оптимальность. Оценка ошибки. Формулы для параметров. Понятие об устойчивости и алгоритмах упорядочения параметров. Примеры. Бесконечно продолжаемые устойчивые оптимальные методы.
4. Чебышевский двухшаговый (трехчленный) итерационный метод
Формулировка двухшагового итерационного метода и ассоциированной с ним системы многочленов. Оптимизация, формулы для оптимальных параметров.
5. Чебышевские итерационные методы для уравнений с симметризуемыми операторами
Формулы итерационных методов, оценки сходимости, выбор операторов симметризации.
6. Блочный чебышевский метод
Формулы блочного метода, оптимизация, определение оптимальных параметров, оценки сходимости.
7. Дифференцирование и интегрирование нелинейных операторов. Метод Ньютона
Производные Фреше и Гато. Дифференцируемые функционалы и интеграл от абстрактной функции, метод Ньютона.
Рекомендуемая литература
1. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Гос. изд-во физ-мат.лит., 1958.
2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, 1982.
3. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
4. Канторович Л.В., Акилов В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
5. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
6. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
8. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1976.
9. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.
11. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1973.
12. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х т. М.: Гос. изд-во физ-мат.лит., 1959.
13. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.
14. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор.лит., 1949.
15. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1982.
16. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.
17. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981.
18. Лебедев В.И. Метод композиции. – М.: ОВМ АН СССР, 1986.
19. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М.: Наука, 1968.
20. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.
21. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.
22. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976.
СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
~ Наверх
1. Сведения из функционального анализа.
Линейные и банаховы пространства. Сопряжённые пространства и сопряжённые операторы. Основные понятия и типы разрешимости операторных уравнений в банаховых пространствах. Теория Рисса-Шаудера для уравнений 2 рода. Основы теории уравнений 1 рода. Нелинейные операторы. Производные Гато и Фреше. Формула Тейлора. Производная и градиент функционала. Теоремы о неявной функции.
2. Элементы выпуклого анализа.
Основные определения. Выпуклые множества и функции. Связь между выпуклостью функционала и монотонностью градиента. Полунепрерывные и слабо полунепрерывные снизу функционалы. Теоремы существования и единственности минимума. Экстремальные точки функционалов и обобщённая теорема Вейерштрасса. Принцип критической точки. Теоремы существования критических точек. Основные понятия задач оптимального управления. Уравнения Эйлера. Примеры задач оптимального управления с распределёнными параметрами.
3. Сведения из теории дифференциальных уравнений и краевых задач.
Основные задачи математической физики. Свойства решений дифференциальных уравнений. Некорректно-поставленные задачи. Задача Коши для дифференциальных уравнений 2 порядка (эллиптических, параболических, гиперболических).
4. Методы исследования и решения экстремальных и обратных задач.
Методы регуляризации и штрафа в обратных и вариационных задачах. Алгоритмы возмущений. Формулировка обратных задач и задач управления как задач оптимального управления с регуляризацией. Типы разрешимости и разрешимость задач оптимального управления. Случайтривиального значения параметра регуляризации. Итерационные алгоритмы решения обратных задач и задач оптимального управления.
5. Методы теории сопряжённых уравнений и оптимального управления в исследовании и решении прикладных задач.
Эллиптическая задача о достижении заданного стационарного потока тепла на части границы области. Задача для уравнения теплопроводности о достижении предписанного конечного состояния. Задача для эволюционного уравнения 2 порядка о достижении заданного конечного состояния. Задача усвоения данных измерений для эволюционного уравнения. Задача для уравнения переноса о вычислении входящего излучения по измеренному выходящему потоку. Задача для уравнения переноса об определении функций источников по заданному интегральному потоку.
Задача для уравнения переноса о вычислении коэффициентов уравнения. Задача о выборе источников загрязнений с целью сохранения заданного уровня загрязнения среды в отдельных регионах. Задачи управления климатом (на примере простейших математических моделей).
Рекомендуемая литература
1. Треногин В.А, Функциональный анализ. М., Наука, 1993.
2. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.
4. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряжённые уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М., Наука, 1993.
5. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения. Новосибирск, Научная книга, 1999.
ВАРИАЦИОННЫЕ И ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
~ Наверх
Часть I. Некоторые алгоритмы проекционного метода
1. Введение. Общая схема алгоритмов.
2-3. Метод Ритца. Классический метод Ритца. Метод Ритца в энергетических пространствах. Естественные и главные краевые условия. Примеры.
4. Метод Бубнова-Галеркина. Случай оператора с самосопряженной главной частью. Общий случай алгоритма.
5. Метод наименьших квадратов. Теорема сходимости. Связь с методом Ритца.
6. Метод Галеркина-Петрова. Теорема сходимости.
7-8. Проблемы выбора базисных функций. Плотность. Удовлетворение краевым условиям. Минимизация ошибки аппроксимации. Устойчивость.
Часть II. Аппроксимация и финитные функции
9. Простейшие кусочно-постоянные функции
10. Кусочно-линейные базисные функции в одномерном случае. Построение “функций-домиков”. Аппроксимация. Равномерная линейная независимость. Модифицированные “функции-домики”.
11. Кусочно-линейная аппроксимация на прямоугольнике. Функция Куранта. Подпространства.
12. Билинейные базисные функции.
13. Построение базисов в случае области с криволинейной границей (метод аппроксимации области). Понятие об изопараметрических преобразованиях.
Часть III. Построение проекционно-сеточных схем для задач математической физики
14-15. Построение проекционно-сеточных схем для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Постановка задачи. Построение схемы. Сходимость. Метод оценки скорости сходимости. Примеры.
16. Проекционно-сеточный алгоритм для третьей краевой задачи.
17-18. Решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Задача Дирихле в прямоугольной области. Задача Дирихле в области с криволинейной границей. О подходах к решению задачи с неоднородными граничными условиями. Задача Дирихле для общего эллиптического уравнения.
19. Проекционно-сеточный метод с применением сингулярных функций.
20-21. Решение параболического уравнения. Постановка задачи. Построение схем. Сходимость. Оценки скорости сходимости. Численное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
22-23. Решение гиперболического уравнения первого и второго порядков.
24-25. Некоторые вопросы численной реализации проекционно-сеточных алгоритмов. Численное интегрирование. Устойчивость. О числе обусловленности и решении систем уравнений. О константах в оценках погрешностей.
26-27. Понятие о методе интегральных тождеств. Проекционная форма интегральных тождеств для дифференциального уравнения второго порядка. Приближенное решение уравнения диффузии.
Рекомендуемая литература
1. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.
3. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
4. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения задач для эллиптических уравнений.
5. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных эллиптических уравнений.